Test istotności dla wartości średniej

Test t-Studenta jest jednym z podstawowych narzędzi statystyki, które pozwala na badanie różnic między średnimi. W tym wpisie omówimy, jak używać testu t-Studenta w różnych kontekstach: dla jednej próbki, dla dwóch próbek sparowanych i dla dwóch próbek niezależnych. Omówimy również, co zrobić, gdy nasze dane nie spełniają założeń testu t-Studenta. Na koniec przedstawimy test Wilcoxona, który jest nieparametrycznym odpowiednikiem testu t-Studenta.

Test t-Studenta dla jednej próbki

Test t-Studenta dla jednej próbki pozwala nam porównać średnią naszej próbki do określonej wartości. W naszym przypadku sprawdzamy, czy średnia wieku w naszej populacji różni się od 40 lat. Najpierw sprawdzamy, czy nasze dane mają rozkład normalny za pomocą testu Shapiro-Wilka. W tym teście mamy:

• Hipoteza zerowa: próbka ma rozkład normalny
• Hipoteza alternatywna: próbka nie ma rozkładu normalnego

Wartość p-value jest większa od 0.05, zatem nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Zatem nasza próbka nie różni się istotnie od rozkładu normalnego.

Następnie obliczamy średnią próbki i przeprowadzamy test t-Studenta, porównując ją do wartości 40.

• Hipoteza zerowa:  średnia w populacji wynosi 40
• Hipoteza alternatywna: średnia w populacji jest różna od 40

Hipotezę alternatywną możemy też sformułować na dwa inne sposoby: średnia z populacji jest większa od 40 lub średnia z populacji jest mniejsza od 40.

Tu również p-value jest większa od 0.05, zatem średnia z populacji nie różni się istotnie od 40.

Test t-Studenta dla dwóch próbek sparowanych

Test t-Studenta dla dwóch próbek sparowanych używamy, kiedy mamy pary obserwacji – na przykład, kiedy mierzymy tę samą zmienną przed i po interwencji. W naszym przypadku używamy zestawu danych sleep, który zawiera pomiary czasu snu przed i po terapii.

Podobnie jak wcześniej, najpierw sprawdzamy normalność naszych danych. Następnie przeprowadzamy test t-Studenta dla próbek sparowanych.

W przypadku próbek sparowanych nie musimy sprawdzać równości wariancji. Wynika to z faktu, że test próbek sparowanych jest równoważny testowi jednej średniej, gdzie zmienną jest różnica odpowiednich wartości w obu próbkach.

Test t-Studenta dla dwóch próbek niezależnych

Kiedy mamy dwie różne grupy, na przykład grupę kontrolną i grupę eksperymentalną, możemy użyć testu t-Studenta dla dwóch próbek niezależnych. W naszym przypadku sprawdzamy, czy średnie zużycie paliwa (mpg) różni się między samochodami z manualną i automatyczną skrzynią biegów.

Ponieważ test t-Studenta dla dwóch próbek niezależnych zakłada równość wariancji w obu grupach, sprawdzamy to założenie za pomocą testu Levene’a.

• Hipoteza zerowa: obie próbki mają jednakową wariancję
• Hipoteza alternatywna: próbki nie mają jednakowej wariancji

Następnie przeprowadzamy test t-Studenta, dostosowując go do wyników testu Levene’a. Jeżeli wariancje są równe, używamy standardowego testu t-Studenta. Jeżeli nie, stosujemy wersję testu t-Studenta, która nie zakłada równości wariancji (tzw. poprawka Welcha).

• Hipoteza zerowa: różnica między średnimi obu populacji wynosi 0
• Hipoteza alternatywna: różnica między średnimi jest różna od zera

W tym teście również hipotezę alternatywną możemy sformułować na dwa inne sposoby: różnica między średnimi jest większa od zera lub różnica między średnimi jest mniejsza od zera.

Test Wilcoxona

Test Wilcoxona jest nieparametrycznym odpowiednikiem testu t-Studenta. Jest on stosowany, gdy dane nie spełniają założeń testu t-Studenta, czyli nie mają rozkładu normalnego. Test Wilcoxona nie sprawdza różnicy średnich, ale różnicy median – jest to ważna różnica między tymi testami.

W naszym przypadku używamy zestawu danych ChickWeight i sprawdzamy, czy waga kurczaków różni się między dwoma różnymi dietami.

Pełny kod R można znaleźć na Github.